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Petite mathématique de la création

Andrée Ehresmann et Jean-Paul Vanbremeersch développent une analyse originale et inattendue abordant trois types de complexité en art : celle intrinsèque d'une œuvre, celle de la conception et de la production d'une œuvre, celle de sa réception au niveau sociétal. Nous publions un extrait relatif au premier aspect.

Pour analyser la complexité d'un tableau, nous pouvons déterminer les divers éléments qui le composent et la manière dont ils s'ajustent entre eux ; puis recommencer à décomposer de même chacun d'eux, et ainsi de suite pour obtenir après plusieurs étapes une ramification plus ou moins longue selon la complexité « verticale » du tableau. Encore faut-il préciser ce que nous entendons par « éléments » ce qui, surtout dans des œuvres abstraites, sera plus ou moins difficile. Prenons l'exemple du tableau Composition VII de Kandinsky (1911) que l'auteur qualifie d'œuvre « la plus complexe » qu'il ait produite.
La complexité relative à la couleur sera évaluée en prenant pour « éléments » les parties du tableau relevant d'une certaine tonalité de couleurs et la manière dont elles s'ajustent entre elles.
Si l'on pense à la conception et à la production matérielle du tableau, on pourra parler de complexité « temporelle » puisqu'il a nécessité une trentaine d'études préalables dans lesquelles le tableau a progressivement pris forme.
D'un point de vue plus psychologique, le tableau admet plusieurs lectures (nous parlerons de complexité « horizontale »). Ainsi des spécialistes y distinguent les thèmes développés par Kandinsky dans d'autres toiles du Déluge, du Jugement dernier et de la Résurrection. Sans compter la complexité des émotions évoquées par la résonance des différentes couleurs entre elles, à laquelle l'auteur était particulièrement attaché.

Complexité « verticale ». Système hiérarchique

Pour parler d'objet complexe, il faut pouvoir le « comparer » à d'autres objets, donc partir d'un certain système formé d'objets, avec des relations ou liens entre eux de diverses natures, permettant de construire, à l'intérieur du système, des décompositions de l'objet considéré en éléments « plus simples », tout en tenant compte de leurs positions respectives et interactions éventuelles. Pour cela, le système doit donc avoir une hiérarchie « verticale » d'objets, de sorte qu'un objet d'un certain niveau soit obtenu « de bas en haut » par assemblage d'objets de niveaux inférieurs respectant certains liens entre eux ; un objet complexe C de niveau n sera obtenu par itération d'un tel processus d'assemblage. Inversement donné l'objet C, on pourra construire une ramification de cet objet par décompositions successives de ses éléments en éléments de plus en plus simples.

Un tel système hiérarchique sera modélisé à l'aide de la notion de catégorie hiérarchique que nous allons brièvement rappeler. Le système formé des objets et des liens entre eux est représenté par une catégorie S, c'est-à-dire un (multi-)graphe orienté (avec éventuellement des flèches fermées) sur lequel on a une loi de composition associant à chaque chemin du graphe (= suite de flèches consécutives) de A vers B une unique flèche de A vers B, cette composition étant associative et chaque objet admettant une flèche « identité ». Une décomposition d'un objet C de S est représentée par un pattern (ou diagramme) P formé d'une famille d'objets Pi et de certains liens (flèches dans S) distingués entre eux. On dira que C recolle (en anglais : binds) P si C est la colimite de P au sens des catégories. Ceci signifie qu'il existe un lien collectif formé de flèches fi de chaque Pi vers C, commutant avec les liens distingués de P, et que C est l'objet « optimal » pour cette propriété (i.e., si un autre objet A a la même propriété, il existe une unique flèche de C vers A). Ce qui importe ici n'est pas tant la définition exacte que l'idée générale de recollement : C a le même comportement que le pattern dont les objets opèrent en synergie via leurs liens distingués. Elle entraîne que l'objet complexe C a des propriétés émergentes par rapport aux propriétés de ses composants Pi (que le modèle permet de distinguer), traduisant ainsi la notion de réductionnisme émergent.

La catégorie S est hiérarchique si ses objets sont répartis en niveaux « de complexité » de sorte que tout objet C d'un niveau n+1 recolle au moins un pattern d'objets liés de niveau inférieur ou égal à n. Dans ce cas, C admet au moins une ramification jusqu'au niveau inférieur obtenue en prenant une décomposition P de C (donc C recolle P), puis une décomposition de chaque objet Pi de P et ainsi de suite jusqu'au niveau 0 (cf. figure ci-contre). On peut alors définir l'ordre de complexité (verticale) de C par la plus petite longueur d'une ramification de C dans S. Cet ordre, qui peut être strictement inférieur au niveau de C, est à rapprocher des définitions de la complexité algorithmique d'un programme.

Complexité « temporelle ». Système hiérarchique évolutif

Ci-dessus nous avons parlé de la complexité d'un objet dans un système « statique », c'est-à-dire considéré dans un contexte particulier, à un instant donné. Nous voulons maintenant prendre en compte le changement au cours du temps, donc la dynamique du système.

Donnons comme exemple une peinture relativement simple que Picasso produit très rapidement dans le film de Clouzot Le Mystère Picasso (1958). Il commence par dessiner en quelques traits trois tiges de fleurs, qu'il englobe dans un poisson, ensuite transformé en poule par adjonction d'une tête et de pattes, puis la couleur commence par accentuer certains traits en leur conférant un sens différent, jusqu'à ce qu'elle recouvre une grande partie du dessin et fasse disparaître presque tous les détails ; et finalement apparaît une face de chat. Tout se fait comme s'il n'y avait pas de plan préétabli, mais des changements successifs au gré de la fantaisie de l'artiste ; en particulier la couleur est mise très rapidement, et le résultat final surgit sans qu'on ait pu le prévoir. Un exemple à une échelle temporelle plus grande est donné par l'évolution de la conception artistique du sculpteur Csaky. Sous l'influence de son propre travail et de sa confrontation avec les cubistes, il passe en trois ans d'un style assez classique au cubisme, comme l'illustre une série de cinq autoportraits : Tête d'homme (1911), Portrait d'homme (1913) et trois Tête cubiste (1914). Tous représentent la tête vue de face, avec une même ramification générale, mais les composants de celle-ci se stylisent progressivement, avec un traitement de plus en plus géométrique des différentes parties du visage.

L'évolution des objets et du système au cours du temps est prise en compte dans la notion d'un système évolutif hiérarchique : c'est une suite de catégories hiérarchiques indexées par une échelle de temps (discret ou continu), avec foncteurs partiels transition entre elles, modélisant le changement entre deux instants de cette échelle (un foncteur étant une application entre catégories respectant la composition et les identités). Généralement ce changement résulte de l'addition ou la suppression de certains composants, et de la formation de composants plus complexes par recollement de certains patterns de composants existants ; ceci est modélisé par le processus de complexification d'une catégorie par rapport à la procédure ayant ces objectifs. Nous dirons qu'un objet complexe C préserve son identité complexe s'il admet en t une décomposition Q qui conserve une certaine stabilité pendant un intervalle dt, signifiant que les états successifs de C recollent les états successifs de Q. Autrement dit, il y a changement des composants de C au cours du temps, mais il est progressif, et généralement non prévisible à long terme ; après une période assez grande il se peut même que tous les composants initiaux aient disparu. Les systèmes dynamiques non-linéaires ou au bord du chaos sont de ce type.

Complexité « horizontale ». Objets multiformes

Si nous regardons un tableau cubiste comme le Portrait de Dora Maar (1937) par Picasso, nous voyons apparaître une autre forme de complexité. Les cubistes ne se contentent pas de partir d'une ramification du modèle qu'ils interprètent et de la reconstruire avec un éventuel changement de certains de ses éléments en figures géométriques. Ils en construisent plusieurs, correspondant à différents point de vue (ici une figure vue de face et de profil), et ils les reproduisent simultanément en aplatissant les différents plans, les surfaces se coupant de manière plus ou moins aléatoire pour supprimer l'impression de profondeur. Ainsi le tableau a une double lecture. Déjà Cézanne avait structuré ses peintures en coupant la surface peinte en petites aires à multifacettes pour mettre en valeur la perspective plurielle donnée par la vision binoculaire, et il avait commencé à simplifier les formes naturelles en cylindres, sphères et cônes, ce qui transformait la façon traditionnelle de percevoir la perspective.

Dans notre modèle, nous disons qu'un objet complexe C est multiforme s'il admet deux décompositions non-interconnectées qui en donnent deux lectures de nature différente (cf. figure ci-contre). L'existence de tels objets permet l'émergence de liens complexes qui relient les deux objets de niveau n par l'intermédiaire d'au moins un objet multiforme C qui intervient dans leur composition avec deux décompositions différentes de niveaux < n. Ces liens jouent un rôle essentiel dans le problème de l'émergence, en vertu du théorème suivant :

Théorème

1. Un objet de niveau > 2 dont toute ramification contient au moins un lien complexe est d'ordre de complexité > 1.
2. L'existence d'objets multiformes (ou « Principe de multiplicité ») caractérise la possibilité d'émergence d'objets d'ordre de complexité strictement croissant.

Le principe de multiplicité (que nous avons introduit en 1996) nous a été suggéré par la propriété de dégénérescence introduite en 1989 dans le système neuronal par Edelman, qu'il met à la base de la complexité du cerveau et, plus tard, à la base de la complexité d'un système biologique.

Andrée Ehresmann
Mathématicienne, professeur émérite à l'université de Picardie Jules Verne
http://pagesperso-orange.fr/vbm-ehr

Jean-Paul Vanbremeersch
Médecin gérontologue

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